Aby som túto skutočnosť lepšie popísal. Vieme, že komplexné číslo "Z" má 2 zložky: reálnu časť a imaginárnu časť. Napríklad:
Z = 5 + i3
...pričom "i" je imaginárna jednotka. O tej platí, že odmocnina(-1)=i Preto bolo číslo "i" vymyslené, aby sme ním označili odmocninu zo zápornej jednotky, ktorá sa normálne počítať nedá, lebo akékoľvek číslo na druhú, je kladné. Tak vymysleli komplexné čísla, kde vystupuje táto imaginárna jednotka. Imaginárna jednotka "i" má ďalšie zaujímavé vlastnosti. Vieme teda už, že:
i = Odmocnina(-1)
Keď dve takéto odmocniny medzi sebou vynásobíme, dostaneme výsledok -1, čiže:
Odmocnina(-1) x Odmocnina(-1) = -1
....čo je vlastne to isté, ako:
i x i = -1
Ďalej niekoho napadlo, vytvoriť dve osi, x a y, aby sme si toto dvojzložkové komplexné číslo vedeli predstaviť i graficky. Tí, čo to vymysleli rozhodli, že os x bude znázorňovať reálnu zložku a os y imaginárnu zložku. Čiže vlastne súradnice bodu v rovine - pričom ten bod, je to komplexné číslo.
.....Hneď začalo byť jasné, že sa dá ísť ešte ďalej a na vyjadrenie polohy toho bodu sa dá použiť kružnica a funkcie sínus, cosínus.
-Pokiaľ uvažujeme kružnicu s polomerom 1, tak komplexné číslo môžeme zapísať ako:
z = cos(uhol) + i.sin(uhol)
Cosínus vyjadruje polohu na osi X, čiže reálnu zložku čísla a sínus polohu na osi Y, čiže imaginárnu zložku.
Zaujímavú vec zistíme, keď obe zložky zderivujeme podľa nekonečne malého prírastku uhla:
dz / d(uhol) = d( cos(uhol) + i.sin(uhol) ) / d(uhol)
Vieme, že derivácia cosínusu je -sínus a deriváciou sínusu cosínus. Preto dostaneme po zderivovaní pravej strany toto:
dz / d(uhol) = -sin(uhol) + i.cos(uhol)
Vieme už ale, že i x i = -1. Preto môžeme tú mínus jednotky stojacu pred sínusom premeniť na i x i:
dz / d(uhol) = i.i.sin(uhol) + i.cos(uhol)
"i" teraz môžeme vytknúť pred zátvorku:
dz / d(uhol) = i (i.sin(uhol) + cos(uhol))
....a zrazu zisťujeme, že celý člen v zátvorke stojaci za i je vlastne "z". Vieme totiž, že:
z = cos(uhol) + i.sin(uhol)
Môžeme teda napísať, že:
dz / d(uhol) = i . z
.....A toto je veľmi zaujímavé. Zistili sme, že derivácia (čiže rýchlosť zmeny) komplexného čísla sa rovná jeho vlastnej hodnote, vynásobenej imaginárnou jednotkou. (Jedná sa samozrejme o jeho znázornenie ako bod v rovine na kružnici, pričom meníme uhol ramena polomeru kružnice).
Pýtame sa teraz: existuje taká funkcia, ktorej výsledkom derivácie je jej vlastná hodnota?
-Odpoveď znie: áno.
Je to funkcia e^x. Pozor, nie EnaXnaY, ale iba EnaX.
Derivácia d(e^x)/dx = e^x.
Preto môžeme v našom vzťahu:
dz / d(uhol) = i . z
písmeno zet nahradiť funkciou EnaX-tú a je to vlastne to isté. K tomuto záveru dospejeme aj keď to celé zintegrujeme. Najprv si prehádžeme členy, čím si vzťah pripravíme na integráciu:
dz / z = i . d(uhol)
....a môžeme integrovať:
Integrál ( dz / z ) = Integrál ( i . d(uhol) )
"i" je konštanta, takže tá sa integrovaním nemení, preto ide pred integrál:
Integrál ( 1 / z . dz) = i . Integrál d(uhol)
....a už len spočítame a dostaneme:
ln z = i . uhol
zbavíme sa prirodzeného logaritmu ln povýšením oboch strán rovnice do exponentu čísla "e":
z = e^(i.(uhol))
A MÁME TO, o čom som hovoril.
TAK a teraz sa môžeme vrátiť k pôvodnému zápisu čísla "z":
z = cos(uhol) + i.sin(uhol)
Oba vzorce teraz môžeme dať do rovnosti:
e^(i.(uhol)) = cos(uhol) + i.sin(uhol)
....a to je ten tajomný vzťah. Eulerov vzorec. Tajomnosť toho vzorca sa wšte vystupňuje, keď za uhol dosadíme číslo PÍ:
e^(i.pi) = cos(pi) + i.sin(pi)
e^(i.pi) = -1 + i.0
e^(i.pi) = -1
A máme to tu. Záhadný vzťah medzi číslom PÍ a "e", ktorý je celočíselný. Mínus jedna.
