odkaz
Zásadnou chybou na tomto obrázku je meranie rozdielov úsekov na povrchu Zeme z ich priemetov (tieňov) vrhaných na os X, vytýčenou zo severného pólu. Na začiatku je povrch Zeme rovnobežný s osou X, teda každý prejdený meter dá i meter dĺžky na osi X. Postupne sa však povrch Zeme zakrivuje a vo väčšej vzdialenosti meter už nevytvorí metrový tieň, ale menší. Na rovníku metrová vzdialenosť vrhá na os X tieň nulovej dĺžky. Má to azda znamenať, že sme neprešli žiadnu vzdialenosť, teda nulové prevýšenie? Nie.
Rovnako je to aj s meraním výšky. Výšku jednotlivých bodov na povrchu a rozdielov medzi nimi autor meria vzhľadom k severnému pólu. Pretože sa však povrch zeme zakrivuje, rovnaký úsek dĺžky na osi X vytyčuje stále väčšiu vzdialenosť na povrchu Zeme a tým logicky stále väčšie prevýšenie. Tesne pred rovníkom dokonca nájdeme miesto, kde jeden centimeter na osi X vyznačí vzdialenosť až jeden kilometer na povrchu a teda ďaleko väčšie prevýšenie, než v blízkosti pólu, kde jeden centimeter na osi X vykreslí jeden centimeter na povrchu. Na rovníku dokonca každý meter dĺžky smerom k juhu znamená meter výšky od toho pravítka hore, pričom kráčame po rovine a o žiadnu zmenu výšky nejde. Autor obrázku teda zavádza špatným meraním. Neberie do úvahy stále sa navyšujúce zakrivenie povrchu Zeme, čím sme ďalej od pólu na rovine toho pravítka, čiže nepoužíva pri meraní goniometrické funkcie. Potom by dospel k správnym výsledkom. Keď budeme mať za chrbtom stenu a pôjdeme smerom k lampre alebo slnku, tieň vrhaný na stenu bude stáť. Napriek tomu, že sme prešli určitú vzdialenosť. Prešli sme teda vzdialenosť s nulovým prevýšením? Nie. Správne meranie dĺžky trasy a jej prevýšenia na guľovom povrchu je teda toto:
odkaz a číselný výpočet tento:
odkaz Prevýšenie treba merať od začiatku po koniec každého úseku, nie porovnávaním rozdielov voči severnému pólu. V prípade, že by chcel niekto používať to pravítko vytýčené zo severného pólu, musí k správnemu výpočtu výškového prevýšenia úseku na povrchu, ktorého začiatok a koniec vrhajú svoj tieň na pravítko (označme si tieto body X1 a X2), použiť vzťah:
Prevýšenie = 6371 * (cos(X1 / 6371) - cos(X2 / 6371)) km
Argument kosínu musí byť samozrejme v radiánoch, nie stupňoch. Jeden radián vytvára na povrchu kruhu oblúk dĺžky rovnajúcej sa polomeru kruhu, čo je v prípade Zeme 6371 km, preto musíme v argumente kosínu touto vzdialenosťou podeliť každý úsek dráhy, ktorý meriame .
Pokiaľ chceme vypočítať, akej vzdialenosti na povrchu Zeme ten úsek na osi X zodpovedá, musíme použiť inverznú funkciu ku sínu, čiže arkus sínus:
Vzdialenosť na povrchu = 6371 * (arcsin(X2/6371) - arcsin(X1/6371)) km
Príklad:
Majme na Zemi trasu, ktorej začiatok sa na pravítko premieta vo vzdialenosti 3000 km a koniec 3500 km od severného pólu, čiže je to úsek (tieň) dlhý 500 km na osi X. Dosadením do prvého vzťahu dostaneme:
6371 * (cos(3000 / 6371) - cos(3500 / 6371)) = 244 km prevýšenie.
A akej vzdialenosti tých 500 km na osi X zodpovedá na povrchu Zeme?
6371 * (arcsin(3500/6371) - arcsin(3000/6371)) = 582 km
Postavme tých 500 km ďalej od pólu. Začiatok bude vzdialený 5000 km a koniec 5500 km. Aký úsek dráhy tento priemet do osi X vytýči na povrchu Zeme?:
6371 * (arcsin(5500/6371) - arcsin(5000/6371)) = 888 km
Čiže o 306 km dlhší a teda aj s väčším prevýšením, pričom však na osi X stále ukazuje vzdialenosť 500 km, ako v predošlom prípade. Len sme tú dĺžku posunuli ďalej od pólu. Vypočítajme teraz aj prevýšenie tejto novej dráhy:
6371 * (cos(5000 / 6371) - cos(5500 / 6371)) = 366 km prevýšenie
Teda prevýšenie o 122 km väčšie než predtým, čo je logické, keďže sa jedná o väčší úsek na povrchu Zeme.
Toľko k podvodu z obrázku plochozemcov.